本文最后更新于：2022年8月25日 下午
大坑，填起来比较辛苦，可能慢点。
一直没时间写，估计抽个集训的空就完成了。
比较毒瘤，食用前请确保基础数据结构掌握得差不多了，不然回去学完线性表再来（）
乱入的优先队列
一句话优先队列：往一个队列里边扔数，它自动给你排好序等你使用。
来一个十分简（bian）单（tai）的例题：
给定一个正数序列，求第 $k$ 小的子区间和。
$n \le 100000$
你跟我讲你不知道什么是子区间……
扫盲工作有了大进展。
懵了没有？我早就料到了哈哈哈，你的招式不过如此！
请先克制住把我按在地上暴揍的心理，现在我把这题做法告诉你你的招式不就也上来了嘛。
首先分析题目性质：这个序列是正数。
正数！正数！正数！
也就是说，我们选一个长度小的区间的和肯定比长度大的区间的和要小。
最小的，一定就是形如 $[i, i]$ 这样的区间了。
（都学到这了还不知道左闭右开和左闭右闭就去自闭吧）。
记 $S[l, r]$ 为区间 $l \to r$ 的和。
你一定看得出：$S[l-1, r] \ge S[l, r]$， $S[l, r+1] \ge S[l, r]$。
我们掏出一个堆，先加进去 $[1, 1] \dots [n, n]$ 区间和。
找到一个最小的，然后从这个区间去像上面的左右拓展，找出第二小的区间，以此类推。
记住疯狂塞到堆里边。
最后记住，来个 $\mathtt{map}$ 和 $\mathtt{pair}$ 的联动，去重用，我们不能计算重复的区间。
你要代码？我都写这么清楚了居然还要代码！
好吧……既然你们仍然是一脸懵逼，我还是写一下吧：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
| #include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <map>
#define N 100005
using namespace std;
struct Node {
int l, r;
long long sum;
Node(int l, int r, long long sum) : l(l), r(r), sum(sum) {}
bool operator < (const Node &a) const {
return sum > a.sum;
}
};
int n, a[N], k;
map <pair <int, int>, bool> ds;
priority_queue <Node> q;
void inp() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
q.push(Node(i, i, a[i]));
}
}
void work() {
while(k--) {
Node t = q.top();
q.pop();
if(ds[pair <int, int> (t.l, t.r)]) {
k++;
continue;
}
ds[pair <int, int> (t.l, t.r)] = true;
if(t.l != 1) {
q.push(Node(t.l - 1, t.r, t.sum + a[t.l - 1]));
}
if(t.r != n) {
q.push(Node(t.l, t.r + 1, t.sum + a[t.r + 1]));
}
printf("%d %d %d\n", t.l, t.r, t.sum);
}
}
int main() {
inp();
work();
return 0;
}
|
前缀和与差分
前缀和是什么？
一个序列，定义一个 $pre$ 数组，$pre[i]$ 为前 $i$ 个数的和，查询一个区间 $[l, r]$ 的时候，只需要 $pre[r] - pre[l - 1]$。
那这玩意如何计算呢？
异常简单：
1
2
3
| for(int i = 1; i <= n; i++) {
pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
}
|
二维的东西……这东西是需要画图的，不过我觉得脑补应该可以吧……如果你非要看图（我是不会画的）就使用 gfs（google first search）。
差分又是什么呢？
差分数组的定义：
差分能干什么？
比如说：
有些东西直接统计起来，凉凉 TLE。
但是如果具有可减性，就可以使用差分来降低时间复杂度。
完美。
树状数组
现在，我给定一个序列，需要您写出一个数据结构，支持以下操作：
- 在第 $x$ 的位置上加上 $y$。
- 给出 $x$ 的前缀和。
现在该如何是好呢？
如果您使用数组，您得先统计一遍前缀和，恭喜您，我修改了序列，于是您又去改一遍前缀和，然后我接着修改序列……
有常识的人都知道，TLE 在所难免了。
这种数据结构需要什么特点？
- 树形结构的每个节点表示一个子集。
- 为了高效修改，每个序列上的位置只出现在少数个树形结构的节点上。
- 为了查询高效，对任意查询，可以通过少数个树形结构的节点拼出来。
那么，有没有数据结构能来就我们一命？
树状数组可以满足您的要求。
树状数组是个什么东西？
剑鱼这东西实在毒瘤，于是我盗了 noip 的图，不过这是我氪了金的应该算是正常使用吧……
假设一个序列：$A[1] \sim A[8]$，用 $C[]$ 表示树状数组。
$C[x]$ 表示 $A[x - 2^k + 1, x]$ 这个区间的和，$k$ 是表示 $x$ 的二进制表示中第一位的 1。
蛤？
比如说，6，二进制表示 110。
则，k 就是 1。$2^k$ 就是 2。
那么这玩意怎么求呢？难不成我还要去位运算？
恭喜您，答对了，给您加 10 分。
极其简单，一句话就可以求出 $2^k$：
我们如何去构建一个树状数组？
根据我们之前说过的一堆东西，我们可以提前根据我们手中的数据数组去构造。
1
2
3
4
5
6
7
8
| void build(int c[]) {
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=i-lowbit(i)+1; j<=i; j++) {
c[i] = c[i] + t[j];
}
}
}
|
我们查询一个前缀的和，可以用 $O(\log n)$ 个树状数组的节点拼起来，然后成功拼出这个前缀。
求法：
1
2
3
4
5
6
7
8
| int sum(int x) {
int ans = 0;
for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) {
s += c[i];
}
return ans;
}
|
在 $x$ 的位置上加上 $y$。
你会发现，在 $x$ 前面的结点是不会收到影响的，只有后面的结点才会被影响。
存储输入数据的数组好说，直接一加就行了，但是树状数组里边怎么办呢？
因为之前的和它半毛钱关系都没有，我们直接从 $x$ 和它以后的那些点进行修改就可以了。
1
2
3
4
5
6
| void modify(int x, int y) {
t[x] += y;
for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) {
c[i] += y;
}
}
|
树状数组就这么点东西了。
P3374，模板题。
Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
| #include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 500005
using namespace std;
int c[N];
int n, t[N], m;
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
int find(int x) {
int ans = 0;
for(int i=x; i; i-=lowbit(i)) {
ans += c[i];
}
return ans;
}
void modify(int x, int y) {
t[x] += y;
for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i)) {
c[i] += y;
}
}
void init(int c[]) {
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=i-lowbit(i)+1; j<=i; j++) {
c[i] = c[i] + t[j];
}
}
}
void inp() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d", &t[i]);
}
}
void work() {
init(c);
for(int i=1; i<=m; i++) {
int opt, x, y;
scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);
if(opt == 1) {
modify(x, y);
} else {
printf("%d\n", find(y)-find(x-1));
}
}
}
int main() {
inp();
work();
return 0;
}
|